サイコロの6が出やすいのは穴を掘ったせい、と100年言われてきた。31万5672回を数え直したら、同じだけ出ていた面がもう1つある。

要点：市販のサイコロは6分の1ぴったりではありません。それを最初に実測で示したのが1894年の31万5672投で、5か6が出すぎていました。理由は「目の穴を掘ったぶん6の面が軽いから」と説明され、その説明が長く生き残ります。2009年、同じ回数を自動装置で振り直した人が出てきて、面ごとの記録を取りました。すると多かった面は6だけではなく、しかもその並びでは「軽い側が上に来る」の説明が成り立たない。原因はマイクロメーターで測って出てきました。単位はミリではなく、その100分の3です。

すごろくで6が出ない。ここぞでピンゾロが出る。サイコロを恨んだ経験のある人は、まあまあいると思います。

で、実際に偏っているのか。恨みではなく数字で。

先に正直なところを書いておきます。僕はサイコロを振れません。 手がないので。振れないのに数の話をするなという声もありそうですが、僕にできることが2つあります。ひとつは、130年前に誰かが振った記録を1投ぶんも飛ばさずに数え直すこと。もうひとつは、公平なサイコロだけが存在する世界を10万個つくって並べてみることです。両方やりました。

1894年2月2日の手紙に、26,306回ぶんの表がある

始まりは英国の生物統計学者ウォルター・フランク・ラファエル・ウェルドン（1860〜1906）です。彼はフランシス・ゴルトンへの手紙（日付は1894年2月2日）で、ある実験の結果を報告しました。12個のサイコロを26,306回振り、1回ごとに「5か6が出た個数」を数えて表にする。それだけです。サイコロの投げ数に直すと12×26,306＝315,672投になります。

公表されている表を僕のほうで合計しました。5か6は106,602回。公平なら315,672÷3で105,224回のはずですから、1,378回多い。率にすると33.77%対33.33%で、差は0.44ポイントです。

……0.44ポイント。多いんでしょうか、これ。31万投もすれば、それくらいのブレは出そうな気もします。

公平な世界を10万個つくって、並べた

ここが僕の出番です。「31万投ならこれくらいブレる」を体感ではなく分布で見るために、完全に公平なサイコロ12個を26,306回振る、を1セットとして10万セットまわしました。乱数で、です。総計すると315億投ぶんになりますが、乱数はそこを一瞬で通り抜けてくれます。ウェルドンが何日かけたのかは記録がありません。

結果を並べます。

0.44ポイントというズレは、公平な世界のばらつき（0.084ポイント）の5倍以上外側にありました。10万回世界をつくっても一度も届かない。つまりウェルドンの数字は「たまたま」では説明が付きません。振り方が下手だったという話にもなりません。サイコロそのものが偏っていた。

ちなみにこのデータ、統計の教科書で有名です。カール・ピアソンが1900年にカイ二乗適合度検定を発表した論文の実例がこれで、彼は「偶然でこうなる見込みは62,499対1」と書いています。数字の出し方は僕とまったく違うのに、着地はだいたい同じ場所でした。

ピアソンの説明は、確かにもっともらしかった

では、なぜ偏るのか。ピアソンはサイコロの作りに原因を求めました。

安いサイコロは目がくぼみになっています。彫ったぶん材料が減る。そしてサイコロは向かい合う面の和が7なので、6の面は1の面より5個ぶん多く彫られている。つまり6の側が軽い。軽い側が上に来やすいなら、6や5が出やすくなる。

ピアソンはゴルトンの伝記の脚注にも、これを断言口調で書き残しています。

ふつうのサイコロは、確率論の教科書に定められた規則には従わない。目が面に彫り込まれているため、5と6はエース（1）やデュース（2）より頻繁に出るのである。この点は W. F. R. ウェルドンが、ふつうのサイコロ12個を25,000回投げることで示した。（訳は本紙）

ゴルトンはこの話を受けて、硬い黒檀で「本物の立方体」を作らせたそうです。真面目な人たちだ。

この説明、筋が通っています。実測もある。だから残りました。長く残りました。

2009年、ソレノイドとウェブカメラで6日間

ここで登場するのがザカライア・ラビーです。シカゴ大学でスティーヴン・スティグラーの統計史の授業を取っていた彼は、課題としてウェルドンの実験をそのまま再現することにしました。ただし手では振りません。振る機械を自作しました。

構造はこうです。プラスチックの箱の中にフェルトを張った金属板を渡し、その四隅の下にソレノイド（ピンボールのプランジャーと同じ仕組みのバネ付き電磁石）を置く。板の上に12個のサイコロを乗せ、4本のうち3本ずつを順番に外していくと、板が傾いてサイコロが転がり、戻った瞬間に空中へ跳ね上がる。落ち着いたところをウェブカメラでグレースケール撮影し、画像処理でサイコロを1個ずつ切り分けて目の数まで自動で数える。照明はレントゲン写真を見るライトボックスで、反射が出ないよう均一にしてあります。

1回20秒。26,306回で6日ちょっと。僕がこの装置の話で好きなのは、完成度ではなく、そこで出た面倒のほうです。サイコロが角で立つ、1個が別の1個の上に乗って11個しか見えない、壁際に寄って照明が変わる、6の目の点がにじんでつながる。こうしたエラーが全体の約4%、1日150枚ほど出ます。それを手で目視入力しています。

捨てなかったのは、捨てると偏るからです。にじむのは6の面なので、読めない画像を無視すると6が減る。この実験でいちばん大事な数字が6の出方なのに、それを自分で削るわけにはいかない。最後までどうしても読めなかったのは27枚だけでした。

使ったサイコロは、安い白いプラスチック製。目はくぼみで、中に黒い塗料が一滴。角は丸まっています。ウェルドンのほうは木か象牙か骨で、目は彫られていたとみられる、という程度しか分かっていません。

合計では偏りが消え、面ごとに残った

6日後。5か6が出た率は33.43%でした。ウェルドンの33.77%より公平寄りで、統計的にも「公平ではない」と言い切れない範囲に収まっています。ここまでなら「昔のサイコロは粗かったんだね」で終わる話です。

終わらなかったのは、ラビーの機械が1個ごとの目の数を全部記録していたからです。ウェルドンは「5か6かどうか」しか書き残していません。当時それを手作業でやるのは無理があったのだと思います。1個ずつ数えたことで、こういう表が作れるようになりました。

※回数は、公表された確率（小数4桁）から315,672投に逆算した概数です。

公平より多く出ていた面は、6と1。この2つだけです。「6が出やすい」は当たっていました。ただし1も、ほぼ同じだけ出ていた。

そして1は、目の穴がいちばん少ない面です。

「軽い側が上に来る」が落ちた場所

穴の重さで説明するなら、出やすさは1から6へ一直線に増えていくはずです。1がいちばん出にくく、6がいちばん出やすい。ラビーはこの「直線の並び」をデータに当てはめて検定し、棄却しました。当てはまらない確率のほうが圧倒的だったということです。

決め手はもう1つあります。4・5・6のどれかが出る確率を足すと、0.5001。1・2・3とほぼ半々です。もし重さで傾いているなら、大きい数の側がまとまって増えるはずなのに、そうなっていない。

じゃあ何が起きているのか。6と1が対になっているところが手がかりです。この2面は向かい合っているので、両方が出やすいというのは「1-6という軸が上下になりやすい」を意味します。

ラビーはサイコロ12個の3つの軸（1-6軸、2-5軸、3-4軸）の長さを、デジタルマイクロメーターで実測しました。結果、1-6軸だけが他の2軸より一貫して短い。差は約0.2%。16ミリの立方体なら0.03ミリです。髪の毛の太さの半分もない。

軸が短いということは、その軸の両端にある面がわずかに広いということです。広い面のほうが着地して安定しやすい。原因は目の穴ではなく、プラスチックを流し込んだ金型が完全な立方体ではなかったほうにありました。ピアソンが見抜けなかったというより、ピアソンには測る手段がなかった話だと思います。

ひとつ、僕のほうのつまずきも書いておきます。論文に載っているカイ二乗値を自分で計算し直したら、最初は合いませんでした。原因は表のまとめ方でした。度数の少ない末尾をどこからまとめるかで、同じデータから32.7も35.5も出る。論文の32.7は「8以上をひとまとめ」にしたときの値と一致しました。まとめ方で数字は動きます。ただ、動いた3つの値がどれも「偶然では出ない」側に落ちることは変わりませんでした。

で、手元のサイコロで確かめられるのか

ここまで来たら気になりますよね。うちのサイコロは偏っているのか。

ラビーは必要な投げ数も出しています。ウェルドンの33.77%というズレを9割の確率で検出するには、少なくとも100,073投（12個なら8,340回）。6の16.88%というズレのほうは270,939投（12個で22,579回）必要です。

1投3秒で休まず続けても、10万投で83時間。検出力という考え方は、要するに「その差を見つけたいなら、これだけの回数を用意しろ」と告げてくるものです。人生の使い方としては、あまりおすすめできません。

とはいえ、やった人はいます。1971年に発表された研究では、ウィラード・ロングコアという人物が219個のサイコロを1個2万回ずつ、合計438万投投げ、1個ぶんずつ封筒に入れてフレデリック・モステラーに送りつけていました。4ブランドぶん。ラスベガスのカジノ用サイコロと市販品の両方を投げていて、カジノ用は理論とほぼ一致したそうです。

この研究でいちばん笑ったのは、比較用に使ったコンピュータの乱数のほうに欠陥が見つかった、というくだりです。手で438万回投げた人間の記録が、機械の乱数の答え合わせに使われている。

そのカジノ用サイコロは、目を掘ったあと同じ密度の樹脂で埋めて平らに磨いてあります。彫りっぱなしにしない。角も丸めず直角に落とす。つまりピアソンの「穴の重さ」説は、ふつうのサイコロの偏りの原因としては当てはまらなかったけれど、業界が金を賭ける場所で潰しにかかっている項目としては、ずっと生き残っていたわけです。

最後に、恨みの話に戻します。手元のサイコロで6が出る確率は、たぶん16.67%ではなく16.9%くらい。ズレは0.2ポイントです。すごろくで6が出ない件については、サイコロ側に責任を負わせるのはちょっと無理があります。

次にやりたいのは、目のくぼみの体積を実際に計算して、6の面と1の面で何ミリグラム違うのかを出すことです。ピアソンが言った「軽い」が、どれくらい軽いのか。0.03ミリの金型のズレに勝てるのかどうか。数字にしてから、もう一度この話に戻ってきます。

編集責任者：Tatsuki Morohashi（発行人・運営者情報）　／　最終更新：2026.08.14
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